I principi di Kirchhoff si prestano molto bene nella risoluzione di reti complesse, con molti generatori e/o utilizzatori. In particolare questo metodo è la base di alcuni algoritmi per la soluzione di circuiti tramite calcolatore.
In questa pagina sono presenti due tipologie di esercizi:
Consideriamo qui un circuito costituito esclusivamente da resistenze di valore noto e generatori di tensione di valore noto, formato da NNODI nodi e NRAMI rami. Le incognite possono essere identificate nelle NI correnti, una per ogni ramo, infatti NI = NRAMI.
Dovremo impostare un sistema di NI equazioni lineari in NI incognite; serviranno:
Detto in altro modo, più intuitivo ed operativo:
Le tensioni ai capi delle resistenze possono essere ricavata con la legge di Ohm, conoscendo le correnti.
Come primo passaggio, disegniamo il verso delle correnti in tutti i rami (tre) e delle tensioni ai capi di ciascun componente (quattro resistori, due generatori di tensione), seguendo le indicazioni qui descritte. Nello schema sono già indicate.
I nomi utilizzati per tensioni e correnti sono ovviamente arbitrari, ma conviene sceglierli facendo riferimento al nome dei componenti. Per esempio useremo per questo esempio I14, I2 ed I3 per le correnti (dal nome dei resistori attraversati dalla corrente, nota 6), V1, V2, V3, V4, Va e Vb per le tensioni (dal nome del componente ai capi del quale la tensione è misurata).
Alcune osservazioni sulle scelte fatte:
Cosa andremo a scegliere:
Il sistema (nota 2):
La soluzione del sistema potrebbe essere un esercizio di matematica... lungo ed un po' noioso:
Si noti il segno negativo di I3: significa che la scelta fatta arbitrariamente del verso non è quella corretta e nella realtà I3 ha il verso opposto a quanto disegnato. Non serve però fare nuovamente i calcoli!
La tensione ai capi dei resistori può essere trovata applicando la legge di Ohm:
Utilizzando un programma di simulazione, per esempio SIMetrix/SIMPLIS Elements 101, è possibile verificare i risultati ottenuti:
Il seguente circuito è formato da:
Quindi:
Come già visto iniziamo scegliendo il verso di tensioni e correnti, alcune in modo obbligato, altre in modo arbitrario, rispettando sempre le convenzioni di generatori ed utilizzatori
Osservazioni:
Di seguito il sistema risolutivo: le prime tre sono le equazioni ai tre nodi in alto, le rimanenti sono le equazioni alle tre maglie interne.
Una curiosità: ho chiesto ad una IA di svolgere l'esercizio. Mai visto nulla di peggio!
La soluzione numerica, semplice come procedura, ma troppo lunga per ottenerla senza un computer in tempi oggi ragionvoli:
In genere la risoluzione manuale con Kirchhoff è lunga ed è facile commettere errori; è invece ottima se si usano strumenti di calcolo quali, per esempio, https://wims.unice.fr...it.html.
Un'altra alternativa è l'uso di un simulatore analogico.
Di seguito un esempio relativo al seguente circuito:
Il sistema da risolvere potrebbe essere il seguente (nota 1):
Queste equazioni vanno inserire in WIMS:
Cliccando su risolvi il sistema si ottiene la soluzione:
Alcuni esercizi da svolgere. Potrebbe essere utile verificare la propria soluzione numerica (fatta possibilmente con un metodo simbolico...) confrontandola con quella di altre persone; in particolare è utile confrontare soluzioni che hanno fatto scelte diverse per il verso di tensioni e correnti.
Dopo aver individuato il numero di correnti incognite, scrivere il sistema risolutivo. La soluzione numerica non è richiesta (anche se presente, da utilizzare per una verifica delle equazioni scritte).
Soluzione: I1 = 2.18 mA; I2 = 1,09 mA; I3 = 3,27 mA
Dopo aver individuato il numero di correnti incognite, scrivere il sistema risolutivo. La soluzione numerica non è richiesta.
Dopo aver individuato il numero di correnti incognite, scrivere il sistema risolutivo. La soluzione numerica non è richiesta.
Dopo aver individuato il numero di correnti incognite, scrivere il sistema risolutivo. La soluzione numerica non è richiesta.
La soluzione di una rete che contiene anche diodi, è più complessa da risolvere. Questo avviene perché cade una delle caratteristiche dei precedenti circuiti presenti in questa pagina: se, risolto il sistema, una corrente risulta negativa significa semplicemente che il verso è l'opposto di quanto disegnato, ma il modulo non cambia.
In un diodo il comportamento cambia profondamente se cambia il verso della corrente e/o della tensione: questo componente è detto polarizzato cioè non simmetrico: non posso invertire il "polo positivo" (anodo) con quello "negativo" (catodo). Questo significa che, se "si sbaglia" a disegnare la corrente, occorre rifare completamente i conti.
Un diodo è un utilizzatore. Il verso della corrente è quello qui disegnato (facile da ricordare guardando la forma del simbolo) e quello della tensione è, ovviamente, opposto.
Per descrivere il legame tra ID e VD in un diodo abbiamo diverse possibilità, più o meno complesse. In questa pagina sceglieremo un modello intermedio, non semplicistico, ma neppure troppo complesso: nel diodo passa corrente positiva oppure no.
Casi che non si possono mai presentare:
Le equazioni si scrivono usando gli stessi criteri descritti all'inizio di questa pagina.
Per procedere si fanno in alternativa due ipotesi e si scarta quella che porta a risultati "assurdi":
Prima di fare i conti non possiamo sapere quale è l'ipotesi corretta: se siamo "fortunati" basta provarne una delle due, se siamo "sfortunati", occorre passare all'altra.
Per controllare se i risultati sono davvero corretti è possibile:
Dato il seguente circuito, determinare la corrente ID nel diodo e la tensione VD ai suoi capi.
Innanzitutto è necessario, al solito, disegnare i versi di tutte le tensioni e le correnti seguendo le convenzioni dei generatori per Vcc e degli utilizzatori per gli altri componenti.
Sono presenti due nodi; scriviamo quindi un'equazione ai nodi; ci sono tre correnti incognite (I1, I2, ID), quindi servono due equazioni alle maglie, per un totale di tre equazioni:
Applichiamo la legge di Ohm ai resistori:
Sostituiamo quanto noto (resistenza dei due resistori e tensione del generatore):
Occorre ora risolvere il sistema facendo una ipotesi sul funzionamento del diodo:
Delle due ipotesi una è corretta, l'altra errata!
IPOTESI 1, da verificare: nel diodo passa corrente; quindi VD = Vγ = 0,7 V.
Questo è il sistema di tre equazioni in tre incognite che va risolto.
Osserviamo facilmente che dalla terza equazione possiamo ricavare I2:
I2 = 0.7 / 470 = 0.0015 A (molto meglio: I2 = 1,5 mA)
Analogamente dalla seconda equazione ricaviamo I1:
I1 = (5 - 0,7) / 1000 = 0,0043 A (molto meglio: I1 = 4,3 mA)
Infine dalla prima equazione ricaviamo che:
ID = I1 - I2 = 4,3 - 1.5 = 2.8 mA
Siamo stati fortunati: le ipotesi sono verificate (ID > 0; VD = 0,7 V) e quindi la soluzione è corretta, non serve fare altro!
Purtroppo a volte si è sfortunati e dobbiamo provare anche l'altra ipotesi...
IPOTESI, 2 da verificare: nel diodo non passa corrente (ID = 0); quindi VD < 0,7V
Purtroppo non abbiamo equazioni con una sola incognita, il sistema va risolto usando uno dei metodi tipici dei sistemi di equazioni lineari. Per esempio:
VD = I2·470
5 - I1·1000 - I2·470 = 0
5 - I2·1000 - I2·470 = 0
I2 = 5 / (1000 + 470) = 3,4 mA
VD = 0.0034 · 470 = 1,6 V
Dato che VD > 0,7 V questa soluzione è incompatibile con il comportamento del diodo: viola una delle ipotesi e quindi NON è corretta. In effetti, dopo aver svolto la prima parte di questo esempio, già lo si sapeva...
Il circuito è lo stesso dell'esempio 8, ma il diodo 1N4148 è sostituito da un LED (Vγ = 2 V). Risolverlo.
Risolvere il seguente circuito:
Risolvere il circuito dell'esempio 8ter in cui il diodo 1N4148 è sostituito da un LED (Vγ = 2 V)
Nel seguente circuito è nota la tensione del generatore Vcc (5 V) e la tensione ai capi di R2 (1 V, con potenziale positivo in alto, nota 7). Determinare:
Dato il circuito descritto alla pagina Principi di Kirchhoff: laboratorio, calcolare tutte le tensioni e le correnti nell'ipotesi di conoscere solo VCC il tipo di diodo e i valori delle resistenze. Utilizzare i dati numerici trovati nella propria attività di laboratorio.
Per la verifica dei risultati utilizzare... i dati numerici trovati nella propria attività di laboratorio.
Si consideri Il circuito presentato nella parte iniziale dell'attività 1. Nell'ipotesi di conoscere esclusivamente le tensioni ai capi del resistore e del diodo, determinare:
Per i dati (ed anche la verifica dei risultati) utilizzare quanto misurato durante lo svolgimento della prova.
Nel seguente circuito sono note le tensioni:
Determinare:
Utile far riferimento all'attività 3 della pagina Principi di Kirchhoff: laboratorio 2
Data di creazione di questa pagina: novembre 2019
Ultima modifica: 3 novembre 2026
Appunti scolastici - Versione 0.1033 - Marzo 2026
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